Алгебра · 11 класс · повторение

Степень с натуральным показателем

Как превратить длинное произведение в короткую запись, правильно применять свойства степеней и сравнивать большие числа без громоздких вычислений.

Урок 2 · 40 минут

Цель занятия

Увидеть структуру вместо длинных вычислений

После урока вы должны уметь читать и вычислять степени, применять основные свойства степени с натуральным показателем, сравнивать степени и находить неизвестный показатель в простых уравнениях.

Главный принцип: сначала ищем удобное основание и только потом считаем.

Короткая история записи

От повторного умножения к показателю степени

Степень — это компактная запись повторного умножения одинаковых множителей. Привычная нам запись с показателем сверху закреплялась в европейской алгебре в XVII веке. Она сделала длинные произведения компактнее и позволила легче видеть закономерности в преобразованиях.

a · a · a · a
четыре одинаковых множителя
→
a4
основание a, показатель 4
an = a · a · … · a   (n множителей),   n ∈ ℕ

Основание

Число или выражение, которое повторяется как множитель.

35: основание 3

Показатель

Показывает, сколько одинаковых множителей взято.

35: показатель 5

Квадрат, куб и частные случаи

a2 называют квадратом числа, a3 — кубом. Для натурального n: 1n=1, 0n=0.

a1=a

Краткая теория

Основные свойства степени

Произведение одинаковых оснований
am · an = am+n

Показатели складываются.

Частное одинаковых оснований
am : an = am−n

a ≠ 0, m > n. Показатели вычитаются.

Степень степени
(am)n = amn

Показатели перемножаются.

Степень произведения
(ab)n = anbn

Показатель относится к каждому множителю.

Степень частного
(ab)n = anbn

b ≠ 0.

Обратное чтение
am+n = am · an

Иногда полезно не объединять, а разложить степень.

Показать два типовых преобразования

1) 27 · 25 : 24 = 27+5−4 = 28.

2) (3a2)3 = 33a6 = 27a6.

Типичная ошибка

Отрицательное основание и минус перед степенью

Основание отрицательное

(−2)4 = 16
(−2)5 = −32

Если отрицательное число возводится в чётную степень, результат положителен; если в нечётную — отрицателен.

Минус не входит в основание

−24 = −16

Сначала вычисляется 24, затем ставится внешний минус.

Не путайте: −24 ≠ (−2)4.

Приём 1

Как сравнивать большие степени без вычисления

В наших задачах основания положительны и больше 1. Поэтому удобно привести степени либо к одинаковому показателю, либо к одинаковому основанию: при одинаковом натуральном показателе сравниваем основания, а при одинаковом основании больше 1 — показатели.

Одинаковый показатель

230 = (23)10 = 810
320 = (32)10 = 910

Поскольку 8 < 9, получаем 810 < 910.

Одинаковое основание

45 = (22)5 = 210

Поэтому 212 > 45, так как 12 > 10.

Не нужно вычислять огромные числа: достаточно преобразовать степени к форме, в которой сравнение становится очевидным.

Приём 2

Как найти неизвестный показатель n

Приведите обе части равенства к степеням с одинаковым основанием. Для a > 0, a ≠ 1 верно: au = av ⇒ u = v. Поэтому после преобразования приравняйте показатели и решите получившееся уравнение.

Пример: 4n · 23 = 211.

  1. 4n = (22)n = 22n.
  2. 22n · 23 = 22n+3.
  3. 2n + 3 = 11.
  4. n = 4.
Важно: из 2u = 4v нельзя сразу писать u = v: основания различаются. Сначала нужно заменить 4v на 22v.

Самопроверка

Проверь себя

1. Чему равно 34 · 32?
2. Чему равно (23)4?
3. Какое число больше?

Задания из печатной работы

Два уровня с подсказками

Сначала попробуйте выполнить задание без подсказки. Если ход не виден, откройте только подсказку — она указывает направление, но не содержит полного решения.

Базовый уровень

1. Вычислите: 25 · 23.

Подсказка
Основания одинаковые: при умножении сложите показатели.

2. Упростите: a5 · a7.

Подсказка
Сохраните основание a и сложите показатели.

3. Упростите: (x3)4.

Подсказка
Для степени степени показатели перемножаются.

4. Упростите: b12 : b5, b ≠ 0.

Подсказка
При делении степеней с одинаковым основанием вычтите показатели.

5. Упростите: (2a3)2.

Подсказка
Возведите в квадрат и число 2, и степень a3.

6. Представьте в виде степени с основанием 3: 94 · 32.

Подсказка
Сначала замените 9 на 32, затем используйте свойства степеней.

7. Вычислите: 43 · 24.

Подсказка
Удобно заменить 4 на 22 и получить одну степень двойки.

8. Сравните, не вычисляя полностью: 212 и 45.

Подсказка
Представьте 45 как степень числа 2 и сравните показатели.

9. Найдите натуральное n: 4n · 23 = 211.

Подсказка
Запишите 4n как 22n, объедините степени слева, затем приравняйте получившийся показатель к 11.

Повышенный уровень

1. Вычислите: 217 · 8447 · 162.

Подсказка
Представьте 8, 4 и 16 как степени двойки. После этого всё выражение сведётся к одной степени 2.

2. Упростите: (a3b2)4 · (a2b)3a15b9, a ≠ 0, b ≠ 0.

Подсказка
Сначала раскройте степени произведений отдельно для a и b, затем соберите показатели в числителе и только после этого делите.

3. Сравните, не вычисляя значения степеней: 230 и 320.

Подсказка
Найдите общий показатель: 30 = 3·10, 20 = 2·10. Сравните 810 и 910.

4. Найдите натуральное n: 4n · 8n+1 = 228.

Подсказка
Переведите 4 и 8 в степени двойки. Объедините степени слева, затем приравняйте получившийся показатель к 28.

5. Какое из чисел больше: 2100 + 299 или 3 · 299 − 1?

Подсказка
В первом выражении вынесите 299 за скобки.

6. Может ли при натуральном n число 2n + 2n+1 быть степенью двойки? Ответ обоснуйте.

Подсказка
Вынесите 2n за скобки и посмотрите, какой множитель останется.

7. Верно ли утверждение, что при любом натуральном n число 32n+1 + 2n+1 делится на 11?

Подсказка
Прежде чем искать общий способ доказательства, проверьте утверждение на нескольких небольших натуральных n.

Что должно остаться после урока

Объединять
степени с одинаковым основанием
Сравнивать
степени после удобного преобразования
Находить n
приравнивая показатели после приведения к одному основанию

Материал для печати

Печатная работа

Двусторонний лист: базовый уровень на первой стороне, повышенный — на второй.

Открыть PDF для печати