Квадратичная функция: повторение

Маршрут урока

0–3 минВспоминаемОбщий вид функции и геометрический смысл коэффициентов.

3–10 минДемонстрацияСдвиги, растяжение и направление ветвей в Desmos.

10–15 минАлгоритмВершина, ось симметрии, нули, пересечение с осями.

15–35 минСамостоятельноЗадачи в тетради: от чтения формулы до исследования функции.

35–40 минПроверкаКороткая сверка ответов и разбор одного графика.

Цель урока. Научитесь выделять ключевые элементы параболы и по ним строить схематичный график, не составляя большую таблицу случайных точек.

1. Теория: что нужно помнить

y = a x^{2} + b x + c, a \neq 0

График

Парабола с вертикальной осью симметрии.

Коэффициент a

При $a > 0$ ветви направлены вверх, при $a < 0$ — вниз. Чем больше $| a |$ , тем парабола уже.

Коэффициент c

Точка пересечения с осью Oy: $(0; c)$ .

Вершина и ось симметрии

x_{0} = \frac{- b}{2 a}, y_{0} = f (x_{0})

Вершина: $(x_{0}; y_{0})$ .

x = x_{0}

Это уравнение оси симметрии параболы.

Нули функции

Нули функции — значения x, при которых $y = 0$ . Поэтому их находят из квадратного уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ .

Дискриминант	Пересечение с осью Ox	Что видно на графике
$D > 0$	Две точки	Парабола пересекает ось в двух местах.
$D = 0$	Одна точка	Вершина касается оси.
$D < 0$	Нет точек	Парабола не пересекает ось.

2. Наглядная демонстрация в Desmos

Открыть графический калькулятор Desmos ↗

Работа с Desmos. Вводите выражения по одному. Сначала рассмотрите первый график, сформулируйте вывод, а затем добавляйте следующие выражения и сравнивайте результаты.

1. Исследуйте роль коэффициента a

Введите y=ax² и создайте ползунок a.

Проверьте значения a = 2; 1; 0,5; −1. Определите, что меняется при изменении знака и модуля a.

2. Исследуйте сдвиги параболы

Введите y=(x-h)²+k и создайте ползунки h и k.

Изменяйте значения h и k. Определите, как перемещается график, и сформулируйте вывод о координатах вершины $(h; k)$ .

3. Сравните три формы одной функции

y=x²−4x+3

y=(x−2)²−1

y=(x−1)(x−3)

Введите все три выражения. Убедитесь, что они задают одну параболу, и определите, какие свойства удобнее находить по каждой записи.

4. Выполните быструю проверку

Для функции y=−x²+2x+3 сначала предскажите направление ветвей, координаты вершины и нули. Затем постройте график и проверьте свои ответы.

3. Алгоритм исследования и построения

Определите направление ветвей по знаку коэффициента a.

Найдите вершину: вычислите

x_{0} = \frac{- b}{2 a}

, затем

y_{0} = f (x_{0})

Проведите ось симметрии

x = x_{0}

Найдите пересечения с осями: с Oy — точка

(0; c)

; с Ox — решите уравнение

f (x) = 0

Добавьте симметричную точку к точке

(0; c)

и проведите плавную параболу.

Определите свойства функции: область значений, промежутки возрастания и убывания, знаки функции.

Типичная ошибка: в формуле

x_{0} = \frac{- b}{2 a}

коэффициенты подставляются вместе со своими знаками.

4. Самостоятельная работа в тетради

20 минут
Выполните задания 1–5. Задание 6 — дополнительное. Во всех задачах записывайте вычисления. Стройте графики схематично, но обязательно подписывайте ключевые точки.

Разминка Для функции $y = - 2 x^{2} + 8 x - 5$ укажите направление ветвей, координату вершины $x_{0}$ и точку пересечения с осью Oy. Полный график строить не нужно.
Базовое Найдите вершину и ось симметрии параболы $y = x^{2} - 6 x + 5$ . Представьте формулу в виде $y = a {(x - h)}^{2} + k$ .
Базовое Для функции $y = - x^{2} + 2 x + 3$ : а) найдите вершину; б) найдите нули; в) постройте график; г) укажите область значений.
Применение Не выполняя полного построения, определите, пересекает ли ось Ox график функции $y = 2 x^{2} - 4 x + 5$ . Обоснуйте ответ двумя способами: через дискриминант и через вершину.
Исследование Для функции $y = x^{2} - 4 x - 5$ найдите: а) вершину; б) нули; в) промежутки убывания и возрастания; г) промежутки, где $f (x) > 0$ и $f (x) < 0$ .
Дополнительно Найдите все значения m, при которых прямая $y = m$ имеет с параболой $y = x^{2} - 4 x + 1$ ровно одну общую точку.

5. Проверка и подведение итога

3 минуты

Проверьте решения

Сверьте свои результаты с краткими ответами к заданиям 1–5. Отметьте в тетради место первой ошибки, но не стирайте исходное решение.

2 минуты

Объясните результат

В задании 4 свяжите три факта: знак дискриминанта, положение вершины и отсутствие пересечений графика с осью Ox.

Краткие ответы для учителя

Ветви вниз; $x_{0} = 2$ ; пересечение с Oy: (0; −5). Вершина для контроля: (2; 3).
Вершина (3; −4); ось $x = 3$ ; $y = {(x - 3)}^{2} - 4$ .
Вершина (1; 4); нули −1 и 3; область значений $y \leq 4$ .
Не пересекает: $D = - 24 < 0$ ; вершина (1; 3), ветви вверх, поэтому все значения положительны.
Вершина (2; −9); нули −1 и 5; убывает при $x \leq 2$ , возрастает при $x \geq 2$ ; положительна при $x < - 1$ или $x > 5$ , отрицательна при $- 1 < x < 5$ .
$m = - 3$ : прямая проходит через вершину параболы (2; −3).

6. Домашняя работа

Для функции $y = - x^{2} - 4 x + 5$ :

найдите вершину и ось симметрии;
найдите точки пересечения с осями;
постройте график;
запишите область значений и промежутки возрастания и убывания;
определите, при каких x выполняется $f (x) \geq 0$ .

Самопроверка: после решения введите исходную формулу в Desmos и проверьте расположение ключевых точек. Вычисления и объяснения сохраните в тетради.