Модуль, рациональные выражения, неравенства и функции

Маршрут занятия

0–8 минМодульРасстояние на прямой, вычисления и простейшие уравнения.

8–18 минРациональные выраженияОДЗ, сокращение и основные действия с дробями.

18–35 минМетод интерваловКвадратные и дробно-рациональные неравенства.

35–40 минПромежуточная практикаКороткие задания на критические точки и знаки.

40–48 минСистемы неравенствРешаем отдельно и пересекаем множества решений.

48–58 минФункции и графикиОбласть определения, свойства и знакомые формы графиков.

58–60 минПодготовкаВыбор уровня и переход к письменной работе.

60–80 минПисьменная работаБазовый или повышенный уровень, 20 минут.

Цель занятия. Мы повторим правила, без которых нельзя уверенно работать с уравнениями, неравенствами и функциями: будем видеть ограничения до начала вычислений, находить критические точки, определять знаки выражения и читать график как источник информации.

Первый урок

1. Модуль числа

Модуль числа показывает расстояние от точки, изображающей это число, до нуля на координатной прямой. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль всегда неотрицателен.

| a | = {\begin{matrix} a, & a \geq 0; \\ - a, & a < 0 . \end{matrix}

Следствия

$| a | \geq 0$ ;
$| a | = | - a |$ ;
$\sqrt{a^{2}} = | a |$ .

Расстояние между точками

Расстояние между точками с координатами $x$ и $a$ равно $| x - a |$ . Поэтому запись $| x - a | = b$ означает: точка $x$ находится на расстоянии $b$ от точки $a$ .

Пример 1. Решим

| x - 3 | = 5

. От точки 3 нужно отойти на 5 единиц влево или вправо:

x = 3 - 5 = - 2

или

x = 3 + 5 = 8

$| x | = a$

При $a > 0$ : $x = \pm a$ . При $a = 0$ : $x = 0$ . При $a < 0$ решений нет.

$| x | < a$

Расстояние до нуля меньше $a$ : $- a < x < a$ , если $a > 0$ .

$| x | > a$

Расстояние до нуля больше $a$ : $x < - a$ или $x > a$ , если $a \geq 0$ .

Типичная ошибка. Из равенства

| x | = 4

следуют два значения:

x = 4

x = - 4

. Знак «минус» появляется у значения переменной, а не перед модулем.

2. Рациональные выражения

Рациональное выражение составлено из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую неотрицательную степень. Если переменная находится в знаменателе, сначала необходимо найти допустимые значения переменной.

ОДЗ — область допустимых значений

Знаменатель дроби не может быть равен нулю.

\frac{x + 1}{x - 4} : x \neq 4

Пример 2. Найдём ОДЗ. Для

\frac{3}{x^{2} - 9}

знаменатель не равен нулю:

x^{2} - 9 \neq 0

. Так как

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

, получаем

x \neq 3

x \neq - 3

Сокращение дробей

Сокращать можно только множители. Поэтому сначала числитель и знаменатель раскладывают на множители.

Пример 3.

\frac{x^{2} - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3) (x + 3)}{x - 3} = x + 3, x \neq 3

Ограничение $x \neq 3$ сохраняется: исходная дробь при этом значении не существовала.

Нельзя сокращать слагаемые. В дроби

\frac{x + 3}{x}

выражения

x

x + 3

не являются общими множителями. Эту дробь сократить нельзя.

Действия с рациональными дробями

Действие	Правило	Главная проверка
Умножение	$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$	Разложить на множители и сократить до перемножения.
Деление	$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$	Делитель не должен быть равен нулю.
Сложение и вычитание	$\frac{a}{m} \pm \frac{b}{m} = \frac{a \pm b}{m}$	Если знаменатели разные, сначала найти общий знаменатель.

Пример 4. Сложение.

\frac{2}{x} + \frac{1}{x + 1} = \frac{2 (x + 1) + x}{x (x + 1)} = \frac{3 x + 2}{x (x + 1)}

ОДЗ: $x \neq 0$ , $x \neq - 1$ .

Пример 5. Умножение.

\frac{x^{2} - 4}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x - 2} = x + 2

Использовано $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ . ОДЗ: $x \neq - 1$ , $x \neq 2$ .

3. Квадратные и дробно-рациональные неравенства

При решении неравенства требуется найти все промежутки, на которых выражение имеет нужный знак. Критическими являются точки, в которых числитель равен нулю или знаменатель не существует.

Метод интервалов

Перенесём всё в одну часть, чтобы в другой части остался ноль.

Разложим выражение на множители. Для дроби отдельно рассматриваем числитель и знаменатель.

Найдём критические точки: нули числителя и нули знаменателя.

Расположим точки по возрастанию и разобьём числовую прямую на интервалы.

Определим знак выражения на каждом интервале.

Выберем нужные интервалы. Нули числителя включаем только при знаках

\leq

\geq

; нули знаменателя не включаем никогда.

Квадратное неравенство

Пример 6. Решим

x^{2} - 7 x + 10 \leq 0

(x - 2) (x - 5) \leq 0

Критические точки: 2 и 5. Произведение положительно вне корней и отрицательно между ними. Нужны отрицательные значения и нули, поэтому $x \in [2; 5]$ .

Интервал	$x - 2$	$x - 5$	Произведение
$(- \infty; 2)$	−	−	+
$(2; 5)$	+	−	−
$(5; + \infty)$	+	+	+

Тот же вывод можно сделать по параболе: при положительном старшем коэффициенте она расположена ниже или на оси Ox между корнями.

Дробно-рациональное неравенство

Пример 7. Решим

\frac{x - 1}{x + 3} > 0

Критические точки: $x = 1$ — ноль числителя; $x = - 3$ — ноль знаменателя. Обе точки не входят в ответ.

x \in (- \infty; - 3) \cup (1; + \infty)

Типичные ошибки. Нельзя умножать неравенство на выражение с переменной без учёта его знака. Нельзя включать в ответ значение, обращающее знаменатель в ноль, даже при нестрогом знаке.

4. Промежуточная практика

5 минут Выполним задания в тетради. Для дробей сначала запишем ограничения, а для неравенств отметим критические точки.

Вычислите: $| - 7 | - | 2 - 5 |$ .
Решите уравнение: $| x + 2 | = 4$ .
Сократите дробь и укажите ОДЗ: $\frac{x^{2} - 16}{x - 4}$ .
Решите неравенство: $(x + 1) (x - 3) \geq 0$ .

Краткие ответы

1) 4. 2) $x = 2$ или $x = - 6$ . 3) $x + 4$ , при $x \neq 4$ . 4) $x \in (- \infty; - 1] \cup [3; + \infty)$ .

Второй урок

5. Системы неравенств

Решить систему — значит найти значения, которые удовлетворяют всем её неравенствам одновременно. Поэтому множества решений отдельных неравенств нужно пересечь.

Решим каждое неравенство отдельно.

Изобразим полученные множества на одной координатной прямой.

Выберем общую часть и запишем её как ответ системы.

Пример 8.

{\begin{matrix} x^{2} - 5 x + 6 \leq 0, \\ x > 1 . \end{matrix}

Первое неравенство даёт $x \in [2; 3]$ , второе — $x \in (1; + \infty)$ . Их пересечение: $x \in [2; 3]$ .

Не путать. В системе используется пересечение — условия выполняются одновременно. Объединение появляется в ответе одного неравенства, если подходят несколько раздельных промежутков.

6. Функция и её основные свойства

Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению аргумента соответствует ровно одно значение функции. В записи $y = f (x)$ число $x$ — аргумент, а $f (x)$ — соответствующее значение функции.

Пример 9. Значение функции. Пусть

f (x) = 2 x^{2} - 3

. Тогда

f (- 2) = 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 3 = 5

. Скобки при подстановке отрицательного числа обязательны.

Пример 10. Выражение $f (x + h)$ . Если

f (x) = x^{2} - 1

, то

f (x + h) = {(x + h)}^{2} - 1

. Мы заменяем аргумент целиком, а не прибавляем

h

к готовому значению функции.

Область определения

Область определения — все значения аргумента, для которых выражение имеет смысл.

Вид выражения	Ограничение	Пример
Многочлен	Ограничений нет	$y = x^{2} - 3 x + 1$ : $D (f) = ℝ$
Дробь	Знаменатель не равен нулю	$y = \frac{1}{x - 2}$ : $x \neq 2$
Квадратный корень	Подкоренное выражение неотрицательно	$y = \sqrt{x + 3}$ : $x \geq - 3$

Что читают по графику

Нули функции

Абсциссы точек пересечения графика с осью Ox.

Знак функции

Выше оси Ox: $f (x) > 0$ ; ниже: $f (x) < 0$ .

Возрастание и убывание

При движении слева направо значения функции соответственно увеличиваются или уменьшаются.

Наибольшее значение

Самая высокая ордината на указанном промежутке.

Наименьшее значение

Самая низкая ордината на указанном промежутке.

Область значений

Все значения $y$ , которые принимает функция.

7. Знакомые графики

Линейная функция

$y = k x + b$ . При $k > 0$ возрастает, при $k < 0$ убывает. Точка пересечения с Oy: $(0; b)$ .

Модуль

$y = | x |$ . Область определения — все действительные числа; область значений: $y \geq 0$ .

Обратная пропорциональность

$y = \frac{k}{x}$ , $k \neq 0$ . Аргумент $x \neq 0$ ; график не пересекает оси.

Квадратный корень

$y = \sqrt{x}$ . Определена при $x \geq 0$ , принимает только неотрицательные значения и возрастает.

Угловой коэффициент и средняя скорость изменения

Для прямой $y = k x + b$ угловой коэффициент можно найти по двум точкам:

k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

Средняя скорость изменения любой функции на отрезке от $x_{1}$ до $x_{2}$ :

\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}

Пример 11. Для

f (x) = x^{2}

на отрезке

[1; 3]

средняя скорость изменения равна

\frac{9 - 1}{3 - 1} = 4

. Это означает: на данном отрезке значение функции увеличивалось в среднем на 4 при увеличении аргумента на 1.

8. Письменная работа

20 минут Выбираем один уровень. Решения записываем последовательно: ограничения — преобразования — ответ. В заданиях по графику указываем единицы и границы промежутков.

Базовый уровень
Основные определения, алгоритмы и прямое применение

Открыть PDF →

Повышенный уровень
Составные преобразования и объяснение свойств

Открыть PDF →

PDF-файлы будут добавлены позднее. Имена ссылок уже зафиксированы для последующего размещения рядом с конспектом.

Итог занятия

Модуль

Читаем как расстояние и учитываем два направления на координатной прямой.

Рациональные выражения

Сначала фиксируем ОДЗ; сокращаем только множители; при сложении приводим к общему знаменателю.

Неравенства

Находим критические точки, определяем знаки и отдельно учитываем нули знаменателя.

Функции

Различаем аргумент и значение, находим область определения и извлекаем свойства из графика.